マイページのお知らせ内の「未読メールなし」が「未読メール○件」と自動更新されません。

自動受信設定になっていない場合には、自動更新されません。

以下の設定を確認してください。
[メール]－[オプション]－[アカウント設定]にて設定しているアカウントの「メール受信」項目にて
[自動受信]が選択されているかを確認してください。
[手動受信]や[受信しない]になっている場合は自動更新されません。